[ADsP]3과목 - 2장.확률 및 확률분포 , 표본의 분포

통계학 : 수량적인 비교를 기초로 많은 사실을 관찰하고 분석하는 방법을 연구하는 학문

• 신뢰성 확보 , 의사결정에 근거, 문제해결을 위한 원인 파악

 

기술통계 : 표본에 대한 분석 결과의 각종 수치들을 활용하여 집단의 특성을 설명

• 자료의 요약 , EDA의 시각화

 

추론통계 : 표본을 활용하여 모집단의 특성을 나타내는 것

• 추정

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모수 vs 통계량

모수(전수조사)

모수(Parameter) : 모집단을 분석하여 얻어지는 결과 수치

모평균, 모분산 , 모표준편차 , 모비율

 

통계량(표본조사)

통계량(Statistic) : 표본을 분석하여 얻어지는 결과 수치(통계치)

표본평균, 표본분산 ..

 

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표본추출방법

확률적 표본추출

단순 무작위 추출	난수추출
계통 추출법	일정한 n개의 간격으로 표본추출 ,인터발
군집(집락)추출	내부 이질적이면서 외부 동질적으로 구성이라면 모집단 전체를 하지않고 몇개의 군집을 표본으로 선택해서 조사하는 방법
층화추출	각 계층(집단)을 대표할 수 있는 표본을 추출하는 방법 , 학년별 몇명씩 추출하는 방법

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자료의 종류

통계학의 자료

 

질적변수

• 명목형 자료 : 분류를 목적으로 사용하는 자료
• 순위형 자료 : 순서로 분류할때 사용하는 자료

양적변수

• 이산형 자료 : 셀 수 있는 값을 나타낼 때 사용하는 자료
• 연속형 자료 : 측정 대상의 크기 변화가 연속적일 때 사용하는 자료 '절대 영점'이 존재한다.

변수 유형	자료 유형	인구주택총조사 결과	예
질적변수(범주형 자료)	명목형(명목 척도)	성별, 배우자와의 관계	거주지역 ,혈액형 등
	순서형(서열 척도)	학력	학점(A,B,C)
양적변수(수치형 자료)	이산형(구간척도)	출생아 수	형제 수 , 수강과목 수 , 온도
	연속형(비율 척도)	연령	키, 몸무게

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확률 및 확률분포

 

표본공간

• 확률실험으로부터 출현 가능한 모든 결과들의 모임
• 예제 : 동전던지기

사건(Event) : 표본 공간의 각 원소들의 부분집합

 

근원사건 : 어떤 사건이 표본공간상의 하나의 원소로 구성된 사건

ex) 동전던지기 근원사건 {H} 와 {T}

 

확률 법칙

덧셈법칙

• 임의의 사건 A와 사건 B의 합사건에 대한 확률
• P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AnB)

곱셈법칙

 

조건부 확률

두 사건 A와 B에 대해

 

• P ( A | B ) : 사건 B 가 발생했을 때 사건 A가 발생할 확률
• P( A | B ) = P(AnB) / P(B)            B가 두개 들어감
• P ( B | A ) = P(AnB) / P(A)           A가 두개 들어감

예시)

두사위를 던지는 실험에서 주사위의 눈이 짝수인 사건을 A, 

주사위의 눈이 4이상인 사건을 B라 할 때 P(A|B)를 구해봅시다.

 

P(A|B) = P(AnB) / P(B) 이므로 P(B)와 P(AnB)를 구합니다.

 

P(B) : 주사위 눈이 4이상 나올 확률 = 1/2

 

P(AnB) : 주사위 눈이 짝수이고 4이상인 경우는 { 4 , 6 } 이므로 확률은 1/3

 

 

만일 두 사건 A와 B가 독립이라면

 

P(AnB) = P(A)P(B)

 

P(A|B) = P(A)

 

사건 A의 확률은 사건 B가 일어났는지 여부와 상관없이 동일하다.

 

동전 던지기의 사건, 확률 변수, 확률 , 확률함수의 관계

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이산형 확률 변수의 기대값

ex) 주사위를 던졌을 때의 기대값

 

 

연속형 확률 변수의 기대값

 

확률변수의 분산

기대값의 특성을 나타내는 값

확률 변수들이 기대값으로부터 벗어나는 정도

 

이산형 확률분포 vs 연속형 확률분포

 

확률분포

확률변수가 취할 수 있는 값과 각 값이 나타날 확률을 대응시킨 관계

 

이산형 확률분포 : 베르누이 분포 , 이항분포, 초기화 분포, 포아송 분포

ex) 정수로 구분할 수 있는 경우 이산형 ex) 안경 쓴 학생수

 

연속형 확률분포 : 균등분포, 정규분포, t 분포 , 카이제곱분포 , F 분포

ex) 정수로 셀 수 없기 때문에 일정구간 설정 ex) 키 170~171 학생수

 

표본의 분포

표본을 추출한 후 , 표본의 특성을 파악하기 위해 표본분포의 확인이 필요

 

정규분포 : 중심(평균)을 기준으로 좌우가 대칭되는 분포

 

Z분포 (표준정규분포) : 평균이 = 0 , 분산이 = 1 인 정규분포

 

중심극한정리 :

표본의 개수가 30개 이상이라면 모수를 모르는 상황에서도 표본 통계량으로 정규분포를 구성하여 모수를 추정 가능

 

t분포 : 표본이 충분하지 못한 경우, 즉 표본의 개수가 30개를 넘지 못하는 경우에는 t 분포를 사용

 

30개가 넘는 경우에는 z 분포를 사용하고 표본의 갯수가 무한으로 갈때 z분포와 t분포는 동일한 분포가된다.

 

 * n = 30로 맞추면 결측값이 있기 때문에 30개 이상으로 여유있게 표본의 갯수를 맞춰줘야한다.

 

X^2 분포 ( 카이제곱 분포)

: 정규분포로부터 도출되고, z분포의 제곱에 대한 분포 ( 항상 0보다 큰값)

F분포

: F분포는 두 개의 분산에 관한 추론 -> F(v1,v2)

v1 , v2 는 각각의 X^2(카이제곱 분포)에 대한 분산

 

F = v1/v2 는 각 비율을 나타냄